Les fonctions elliptiques de Jacobi (sn, cn et dn) généralisent les fonctions trigonométriques aux systèmes non linéaires. Elles émergent naturellement de l'inversion des intégrales elliptiques de première espèce et possèdent une double périodicité dans le plan complexe, propriété centrale qui les distingue des fonctions élémentaires.
Ce cours part de la géométrie de l'ellipse pour construire ces fonctions pas à pas : définition via le paramétrage de l'ellipse, identités fondamentales, comportement aux cas limites, développements limités, et application directe à la mécanique non linéaire. Conçu pour être accessible dès la fin de première année de CPGE (MPSI/PCSI), il peut servir de support théorique pour un TIPE en physique ou en mathématiques.
Références : Périodicité complexe (Wikipedia), Fonctions de Jacobi (MathWorld), Intégrales elliptiques (Wikipedia).