L'équation du mouvement du pendule simple, est non linéaire. L'approximation des petits angles (sin θ ≈ θ) donne une solution sinusoïdale, mais cette approximation n'est valide qu'en dessous d'environ 10°. Au-delà, la période réelle s'allonge et l'erreur devient significative.
En partant de la conservation de l'énergie, on peut exprimer θ(t) de manière exacte pour toute amplitude initiale, grâce aux fonctions elliptiques de Jacobi. La démonstration complète est dans le PDF. Le code Python ci-dessous compare cette solution à l'intégration numérique par odeint.
Références : Pendule à amplitude arbitraire (Wikipedia), Fonctions de Jacobi (MathWorld).